เซต (set): 2011

วันอาทิตย์ที่ 4 กันยายน พ.ศ. 2554

ผู้จัดทำ

รายชื่อสมาชิก

1. นางสาวจุฑาทิพย์ ศิลางาม รหัสประจำตัวนักศึกษา 52191400124

2. นางสาวจุฬาลักษณ์ ทาประโคน รหัสประจำตัวนักศึกษา 52191400125

3. นางสาวฉัตรสุดา เจือจันทร์ รหัสประจำตัวนักศึกษา 52191400126

4. นางสาวชไมพร สุริเย รหัสประจำตัวนักศึกษา 52191400127

5. นายชินโชติ ศรีบุญกุล รหัสประจำตัวนักศึกษา 52191400128

6. นางสาวชื่นนภา เสาประโคน รหัสประจำตัวนักศึกษา 52191400129

7. นายชุมแพ หอมเนียม รหัสประจำตัวนักศึกษา 52191400130

8. นางสาวณัฏฐณิชา โชติบุตร รหัสประจำตัวนักศึกษา 52191400131

9. นายณัฐวุฒิ อิ่มบุญ รหัสประจำตัวนักศึกษา 52191400132

10. นายเดชา กลิ่นพิกุล รหัสประจำตัวนักศึกษา 52191400133

11. นางสาวดรุณี สีสันงาม รหัสประจำตัวนักศึกษา 52191400134

12. นางสาวดาวเรือง ทองแท่ง รหัสประจำตัวนักศึกษา 52191400135

13. นางสาวดุจเดือน เติมงาม รหัสประจำตัวนักศึกษา 52191400136

วันอาทิตย์ที่ 28 สิงหาคม พ.ศ. 2554

ผลต่าง (Difference)
    ผลต่างระหว่างเซต A และเซต B คือ เซตที่ประกอบด้วยสมาชิกของเซต A แต่ไม่ได้เป็น
สมาชิกของเซต B เขียนแทนด้วยA - B
ตัวอย่างที่ 1 กำหนดให้ A = {1, 2, 3, 4, 5} และ B = {4, 5, 6, 7}
วิธีทำA - B = {1, 2, 3}
         B - A = {6, 7}
ตัวอย่างที่ 2 กำหนดให้ A = {1, 3, 5, 7, 9} และ B = {2, 4, 6, 8}
วิธีทำA - B = {1, 3, 5, 7, 9} = A
         B - A = {2, 4, 6, 8} = B

คอมพลีเมนต์

คอมพลีเมนต์ (Complement)
คอมพลีเมนต์ของเซต A ซึ่งมีเอกภพสัมพัทธ์เป็น U คือเซตที่ประกอบด้วยสมาชิกของ U แต่ไม่เป็นสมาชิกของเซต A และใช้สัญลักษณ์

(อ่านว่า เอไพรน์) แทน คอมพลีเมนต์ของเซต A

ตัวอย่าง กำหนด U = {1, 2, 3, ... ,10} , A = {1, 3, 5, 7, 9}
วิธีทำ

= {2, 4, 6, 8, 10}

อินเตอร์เซกชัน

บทนิยาม

สมมติว่าเอกภพสัมพัทธ์ U ได้นิยามแล้ว กำหนดให้เซตสองเซต A และ B เป็นเซตย่อยของ U การอินเตอร์เซกชันจะให้ผลเป็นเซตใหม่ที่มีสมาชิกทั้งหมดที่ปรากฏอยู่ใน A และ B โดยไม่มีสมาชิกอื่นนอกเหนือจากนี้ นั่นคือ

$A \cap B = \{ x \in \mathbf{U} \, | \, x \in A \and x \in B \}$

ตัวอย่างเช่น กรณีที่มีสมาชิกบางส่วนเหมือนกัน ดังนั้นผลของการอินเตอร์เซกชันจึงเป็นเซตที่ประกอบด้วยสมาชิกที่เหมือนกันเหล่านั้น

$\begin{align} A &= \{ 1, 2, 3 \} \\ B &= \{ 2, 3, 4 \} \\ A \cap B &= \{ 2, 3 \} \\ \end{align}$

หากทั้งสองเซตมีสมาชิกที่แตกต่างกัน คือไม่มีสมาชิกตัวใดเหมือนกันเลย ผลของการอินเตอร์เซกชันจะได้เซตว่าง เราจะกล่าวว่าทั้งสองเซตนั้น ไม่มีส่วนร่วม (disjoint) ต่อกัน

$\begin{align} A &= \{ 1, 2, 3, 4 \} \\ B &= \{ 5, 6, 7, 8 \} \\ A \cap B &= \varnothing \\ \end{align}$

ยูเนียน

บทนิยาม

สมมติว่าเอกภพสัมพัทธ์ U ได้นิยามแล้ว กำหนดให้เซตสองเซต A และ B เป็นเซตย่อยของ U การยูเนียนจะให้ผลเป็นเซตใหม่ที่มีสมาชิกทั้งหมดที่ปรากฏอยู่ใน A หรือ B โดยไม่มีสมาชิกอื่นนอกเหนือจากนี้ นั่นคือ

$A \cup B = \{ x \in \mathbf{U} \, | \, x \in A \or x \in B \}$

หากทั้งสองเซตมีสมาชิกที่แตกต่างกัน นั่นคือสมาชิกของเซต A จะไม่ปรากฏในเซต B และในทางกลับกันด้วย ผลที่ได้จากการยูเนียนจะเป็นการนำสมาชิกทั้งหมดจากทั้งสองเซตมาใส่รวมกันทันที ตัวอย่างเช่น

$\begin{align} A &= \{ 1, 2, 3, 4 \} \\ B &= \{ 5, 6, 7, 8 \} \\ A \cup B &= \{ 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 \} \\ \end{align}$

ในกรณีที่ทั้งสองเซตมีสมาชิกบางส่วนซ้ำกัน การรวมสมาชิกจะไม่ส่งผลต่อภาวะเชิงการนับ (cardinality) ของเซต เนื่องจากสมาชิกตัวที่ซ้ำกันก็เสมือนมีอยู่เพียงตัวเดียวในเซต เช่นตัวอย่างนี้

$\begin{align} A &= \{ 1, 2, 3 \} \\ B &= \{ 2, 3, 4 \} \\ A \cup B &= \{ 1, 2, 3, 4 \} \\ \end{align}$

วันเสาร์ที่ 27 สิงหาคม พ.ศ. 2554

เอกภพสัมพัทธ์ (Relative Universe)

เอกภพสัมพัทธ์ (Relative Universe)

บทนิยาม

เอกภพสัมพัทธ์ คือ เซตที่กำหนดขอบเขตของสิ่งที่ต้องการศึกษา ซึ่งถือว่าเป็นเซตที่ใหญ่ที่สุด โดยมีข้อตกลงว่า ต่อไปจะกล่าวถึงสมาชิกของเซตนี้เท่านั้น จะไม่มีการกล่าวถึงสิ่งใดที่นอกเหนือไปจากสมาชิกของเซตที่กำหนดขึ้นนี้

โดยทั่วไปนิยมใช้สัญลักษณ์ U แทนเอกภพสัมพัทธ์

ความเป็นมาของเซต

ความเป็นมาของเซต

เซตเป็นคำที่ใช้บ่งบอกถึงกลุ่มของสิ่งต่าง ๆซึ่งถ้าจะเปรียบเทียบกับคำในภาษาไทยแล้วก็เปรียบเสมือนกับคำที่เป็นลักษณนาม เช่น ช้างหนึ่งโขลง สุนัขหนึ่งฝูง กล้วยหนึ่งหวี่ คำว่า โขลง ฝูง หวี่ ต่างเป็นลักษณนามที่บ่งบอกให้รู้ว่าเป็นกลุ่มของอะไร ในทางคณิตศาสตร์เราจะใช้คำว่า “เซต” แทนคำที่บ่งบอกถึงลักษณนาม เช่น “ช้างหนึ่งเซต” “สุนัขหนึ่งเซต” “ กล้วยหนึ่งเซต” และเรียกสิ่งที่อยู่ในเซตว่า สมาชิก (elements) ของเซต

ดังนั้นสมาชิกของเซตเซตหนึ่งจึงสามารถเป็นอะไรก็ได้ เช่น ตัวเลข ผู้คน ตัวอักษร หรือเป็นเซตของเซตอื่น เป็นต้น เซตต้องเขียนแทนด้วยอักษรตัวใหญ่ เช่น A, B, C ฯลฯ ตามธรรมเนียมปฏิบัติ ในประโยคที่ว่า เซต A และ B เท่ากัน หมายความว่า ทั้งเซต A และเซต B มีสมาชิกทั้งหมดเหมือนกัน (ตัวอย่างเช่น สมาชิกทุกตัวที่อยู่ในเซต A ก็ต้องเป็นสมาชิกของเซต B ด้วย เขียนแทนด้วย A = B และในทางกลับกันก็เป็นเช่นเดียวกัน เขียนแทนด้วย B = A)

สมาชิกทุกตัวของเซตเซตหนึ่งต้องไม่ซ้ำกัน และจะไม่มีสมาชิกสองตัวใดในเซตเดียวกันที่เหมือนกันทุกประการ ซึ่งไม่เหมือนกับมัลทิเซต (multiset) ที่อาจมีสมาชิกซ้ำกันก็ได้ การดำเนินการของเซตทั้งหมดยังรักษาคุณสมบัติที่ว่าสมาชิกแต่ละตัวของเซตต้องไม่ซ้ำกัน ส่วนการเรียงลำดับของสมาชิกของเซตนั้นไม่มีความสำคัญ ซึ่งต่างจากลำดับอนุกรมหรือคู่อันดับ

ถึงอย่างเราก็ตามเซตถือว่าเป็น อนิยาม ไม่มีนิยามที่ชัดเจนและครอบคลุม

ในภาษาไทย มีคำที่ใช้เรียกกลุ่มของสิ่งต่าง ๆ หลายคำ เราเรียกว่า “สมุหนาม” (คำนามรวมหมู่) เช่น กลุ่ม ชุด ฝูง พวก ในทางคณิตศาสตร์ เราจะใช้คำว่า เซต (SET) เพียงคำเดียวเท่านั้น ดังนั้น คำว่าเซตในทางคณิตศาสตร์ จึงหมายถึง กลุ่มของสิ่งของต่าง ๆ และเมื่อกล่าวถึงกลุ่มใดแล้วจะสามารถทราบได้แน่นอนว่าสิ่งใดอยู่ในกลุ่ม และ สิ่งใดอยู่นอกกลุ่มเราเรียกสิ่งที่อยู่ในเซตว่า สมาชิก (Elements / Member สิ่งต่าง ๆ ที่อยู่ในเซต ต้องเป็นสิ่งที่สามารถระบุได้อย่างแจ่มชัด (Well-Defined) เพื่อที่เราสามารถระบุได้ว่า สิ่งนั้นเป็นสมาชิกในเซตหรือไม่

ความหมายของเซต

ตามที่เคยได้ศึกษามาแล้ว เรายอมรับว่า เมื่อกล่าวถึงเซตจะหมายความถึงกลุ่มของสิ่งของหรือวัตถุ(Object) ที่มีคุณสมบัติ(Property) บางอย่างคล้ายคลึงกัน เรียกสิ่งของในกลุ่มนั้นว่าสมาชิก(Element หรือ Member) เมื่อกล่าวถึงกลุ่มของสิ่งของกลุ่มหนึ่ง ต้องทราบแน่นอนว่า มีสิ่งของหรือวัตถุสิ่งใดอยู่ในกลุ่มนั้นบ้าง และต้องทราบแน่นอนอีกว่า สิ่งของสิ่งใดไม่อยู่ในกลุ่มนั้นบ้าง ดังนั้นเมื่อกล่าวถึงเซต ๆ หนึ่ง ก็ต้องทราบว่าสิ่งใดเป็นสมาชิกของเซตนั้น และสิ่งใดไม่เป็นสมาชิกของเซตนั้น

แคนเตอร์ นักคณิตศาสตร์ที่ได้กล่าวถึงแล้วในบทที่ 1 ผู้เป็นต้นกำเนิดของวิชาทฤษฎีเซตได้เคยให้คำอธิบายความหมายของเซตไว้อย่างง่าย ๆ เพื่อความเข้าใจเบื้องต้นเป็นแนวทางเดียวกันว่า “เซตหมายถึงกลุ่มของสิ่งของ ซึ่งมีคุณสมบัติบางประการคล้ายคลึงกัน และเรียกสิ่งของในกลุ่มนั้นว่า สมาชิกของเซต”

จากที่กล่าวมานี้ นักคณิตศาสตร์เช่นแคนเตอร์ไม่ได้ถือว่า คำอธิบายเกี่ยวกับเซตที่กล่าวมาแล้วนี้เป็นการให้คำจำกัดความ หรือเป็นพจน์นิยามของคำว่า เซต เพราะว่าไม่ได้อธิบายไว้โดยแจ่มชัด คำที่ใช้ประกอบคำอธิบายก็มีคำว่า กลุ่ม สิ่งของ และสมาชิก ซึ่งนี้เป็นคำที่เรารู้ความหมายดีแล้ว ถ้าพยายามอธิบายคำเหล่านี้อีก เราก็ต้องหาคำอื่น ๆ มาใช้ในการอธิบายจึงเกิดเป็นปัญหาการใช้คำอธิบายที่ต้องวกกลับมาใช้คำแรกอีก จึงตกลงกันว่า จะใช้คำว่า เซตเป็นพจน์อนิยาม นั่นคือไม่ต้องให้คำจำกัดความของคำนี้ ในภาษาไทยมีหลายคำที่มีความหมายอย่างเดียวกับคำว่า เซต ได้แก่ กลุ่ม ฝูง หมู่ โขลง ชุด คณะ กอง กรม สำหรับ ครอบครัว ตระกูล ห้อง พะวง เหล่านี้เป็นต้น

ในภาษาอังกฤษมีคำหลาย ๆ คำ ที่ใช้ในความหมายอย่างเดียวกับคำว่า set ได้แก่ group , collection , family , totality , aggregate เป็นต้น แต่ก็มีบางโอกาสที่นักคณิตศาสตร์ได้นำคำเหล่านี้บางคำ ไปใช้ในความหมายที่แตกต่างกันบ้าง เพื่อความสะดวกบางประการของเนื้อหา ที่ใช้นั้น เราทราบถึงความแตกต่างนี้ได้โดยจะบอกกล่าวให้ทราบไว้ก่อน ในขณะนี้