เซต (set): สิงหาคม 2011

วันอาทิตย์ที่ 28 สิงหาคม พ.ศ. 2554

ผลต่าง (Difference)

ผลต่าง (Difference)
    ผลต่างระหว่างเซต A และเซต B คือ เซตที่ประกอบด้วยสมาชิกของเซต A แต่ไม่ได้เป็น
สมาชิกของเซต B เขียนแทนด้วยA - B
ตัวอย่างที่ 1 กำหนดให้ A = {1, 2, 3, 4, 5} และ B = {4, 5, 6, 7}
วิธีทำA - B = {1, 2, 3}
         B - A = {6, 7}
ตัวอย่างที่ 2 กำหนดให้ A = {1, 3, 5, 7, 9} และ B = {2, 4, 6, 8}
วิธีทำA - B = {1, 3, 5, 7, 9} = A
         B - A = {2, 4, 6, 8} = B

คอมพลีเมนต์

คอมพลีเมนต์ (Complement)
คอมพลีเมนต์ของเซต A ซึ่งมีเอกภพสัมพัทธ์เป็น U คือเซตที่ประกอบด้วยสมาชิกของ U แต่ไม่เป็นสมาชิกของเซต A และใช้สัญลักษณ์

(อ่านว่า เอไพรน์) แทน คอมพลีเมนต์ของเซต A

ตัวอย่าง กำหนด U = {1, 2, 3, ... ,10} , A = {1, 3, 5, 7, 9}
วิธีทำ

= {2, 4, 6, 8, 10}

อินเตอร์เซกชัน

บทนิยาม

สมมติว่าเอกภพสัมพัทธ์ U ได้นิยามแล้ว กำหนดให้เซตสองเซต A และ B เป็นเซตย่อยของ U การอินเตอร์เซกชันจะให้ผลเป็นเซตใหม่ที่มีสมาชิกทั้งหมดที่ปรากฏอยู่ใน A และ B โดยไม่มีสมาชิกอื่นนอกเหนือจากนี้ นั่นคือ

$A \cap B = \{ x \in \mathbf{U} \, | \, x \in A \and x \in B \}$

ตัวอย่างเช่น กรณีที่มีสมาชิกบางส่วนเหมือนกัน ดังนั้นผลของการอินเตอร์เซกชันจึงเป็นเซตที่ประกอบด้วยสมาชิกที่เหมือนกันเหล่านั้น

$\begin{align} A &= \{ 1, 2, 3 \} \\ B &= \{ 2, 3, 4 \} \\ A \cap B &= \{ 2, 3 \} \\ \end{align}$

หากทั้งสองเซตมีสมาชิกที่แตกต่างกัน คือไม่มีสมาชิกตัวใดเหมือนกันเลย ผลของการอินเตอร์เซกชันจะได้เซตว่าง เราจะกล่าวว่าทั้งสองเซตนั้น ไม่มีส่วนร่วม (disjoint) ต่อกัน

$\begin{align} A &= \{ 1, 2, 3, 4 \} \\ B &= \{ 5, 6, 7, 8 \} \\ A \cap B &= \varnothing \\ \end{align}$

ยูเนียน

บทนิยาม

สมมติว่าเอกภพสัมพัทธ์ U ได้นิยามแล้ว กำหนดให้เซตสองเซต A และ B เป็นเซตย่อยของ U การยูเนียนจะให้ผลเป็นเซตใหม่ที่มีสมาชิกทั้งหมดที่ปรากฏอยู่ใน A หรือ B โดยไม่มีสมาชิกอื่นนอกเหนือจากนี้ นั่นคือ

$A \cup B = \{ x \in \mathbf{U} \, | \, x \in A \or x \in B \}$

หากทั้งสองเซตมีสมาชิกที่แตกต่างกัน นั่นคือสมาชิกของเซต A จะไม่ปรากฏในเซต B และในทางกลับกันด้วย ผลที่ได้จากการยูเนียนจะเป็นการนำสมาชิกทั้งหมดจากทั้งสองเซตมาใส่รวมกันทันที ตัวอย่างเช่น

$\begin{align} A &= \{ 1, 2, 3, 4 \} \\ B &= \{ 5, 6, 7, 8 \} \\ A \cup B &= \{ 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 \} \\ \end{align}$

ในกรณีที่ทั้งสองเซตมีสมาชิกบางส่วนซ้ำกัน การรวมสมาชิกจะไม่ส่งผลต่อภาวะเชิงการนับ (cardinality) ของเซต เนื่องจากสมาชิกตัวที่ซ้ำกันก็เสมือนมีอยู่เพียงตัวเดียวในเซต เช่นตัวอย่างนี้

$\begin{align} A &= \{ 1, 2, 3 \} \\ B &= \{ 2, 3, 4 \} \\ A \cup B &= \{ 1, 2, 3, 4 \} \\ \end{align}$

วันเสาร์ที่ 27 สิงหาคม พ.ศ. 2554

เอกภพสัมพัทธ์ (Relative Universe)

เอกภพสัมพัทธ์ (Relative Universe)

บทนิยาม

เอกภพสัมพัทธ์ คือ เซตที่กำหนดขอบเขตของสิ่งที่ต้องการศึกษา ซึ่งถือว่าเป็นเซตที่ใหญ่ที่สุด โดยมีข้อตกลงว่า ต่อไปจะกล่าวถึงสมาชิกของเซตนี้เท่านั้น จะไม่มีการกล่าวถึงสิ่งใดที่นอกเหนือไปจากสมาชิกของเซตที่กำหนดขึ้นนี้

โดยทั่วไปนิยมใช้สัญลักษณ์ U แทนเอกภพสัมพัทธ์

ความเป็นมาของเซต

ความเป็นมาของเซต

เซตเป็นคำที่ใช้บ่งบอกถึงกลุ่มของสิ่งต่าง ๆซึ่งถ้าจะเปรียบเทียบกับคำในภาษาไทยแล้วก็เปรียบเสมือนกับคำที่เป็นลักษณนาม เช่น ช้างหนึ่งโขลง สุนัขหนึ่งฝูง กล้วยหนึ่งหวี่ คำว่า โขลง ฝูง หวี่ ต่างเป็นลักษณนามที่บ่งบอกให้รู้ว่าเป็นกลุ่มของอะไร ในทางคณิตศาสตร์เราจะใช้คำว่า “เซต” แทนคำที่บ่งบอกถึงลักษณนาม เช่น “ช้างหนึ่งเซต” “สุนัขหนึ่งเซต” “ กล้วยหนึ่งเซต” และเรียกสิ่งที่อยู่ในเซตว่า สมาชิก (elements) ของเซต

ดังนั้นสมาชิกของเซตเซตหนึ่งจึงสามารถเป็นอะไรก็ได้ เช่น ตัวเลข ผู้คน ตัวอักษร หรือเป็นเซตของเซตอื่น เป็นต้น เซตต้องเขียนแทนด้วยอักษรตัวใหญ่ เช่น A, B, C ฯลฯ ตามธรรมเนียมปฏิบัติ ในประโยคที่ว่า เซต A และ B เท่ากัน หมายความว่า ทั้งเซต A และเซต B มีสมาชิกทั้งหมดเหมือนกัน (ตัวอย่างเช่น สมาชิกทุกตัวที่อยู่ในเซต A ก็ต้องเป็นสมาชิกของเซต B ด้วย เขียนแทนด้วย A = B และในทางกลับกันก็เป็นเช่นเดียวกัน เขียนแทนด้วย B = A)

สมาชิกทุกตัวของเซตเซตหนึ่งต้องไม่ซ้ำกัน และจะไม่มีสมาชิกสองตัวใดในเซตเดียวกันที่เหมือนกันทุกประการ ซึ่งไม่เหมือนกับมัลทิเซต (multiset) ที่อาจมีสมาชิกซ้ำกันก็ได้ การดำเนินการของเซตทั้งหมดยังรักษาคุณสมบัติที่ว่าสมาชิกแต่ละตัวของเซตต้องไม่ซ้ำกัน ส่วนการเรียงลำดับของสมาชิกของเซตนั้นไม่มีความสำคัญ ซึ่งต่างจากลำดับอนุกรมหรือคู่อันดับ

ถึงอย่างเราก็ตามเซตถือว่าเป็น อนิยาม ไม่มีนิยามที่ชัดเจนและครอบคลุม

ในภาษาไทย มีคำที่ใช้เรียกกลุ่มของสิ่งต่าง ๆ หลายคำ เราเรียกว่า “สมุหนาม” (คำนามรวมหมู่) เช่น กลุ่ม ชุด ฝูง พวก ในทางคณิตศาสตร์ เราจะใช้คำว่า เซต (SET) เพียงคำเดียวเท่านั้น ดังนั้น คำว่าเซตในทางคณิตศาสตร์ จึงหมายถึง กลุ่มของสิ่งของต่าง ๆ และเมื่อกล่าวถึงกลุ่มใดแล้วจะสามารถทราบได้แน่นอนว่าสิ่งใดอยู่ในกลุ่ม และ สิ่งใดอยู่นอกกลุ่มเราเรียกสิ่งที่อยู่ในเซตว่า สมาชิก (Elements / Member สิ่งต่าง ๆ ที่อยู่ในเซต ต้องเป็นสิ่งที่สามารถระบุได้อย่างแจ่มชัด (Well-Defined) เพื่อที่เราสามารถระบุได้ว่า สิ่งนั้นเป็นสมาชิกในเซตหรือไม่

ความหมายของเซต

ตามที่เคยได้ศึกษามาแล้ว เรายอมรับว่า เมื่อกล่าวถึงเซตจะหมายความถึงกลุ่มของสิ่งของหรือวัตถุ(Object) ที่มีคุณสมบัติ(Property) บางอย่างคล้ายคลึงกัน เรียกสิ่งของในกลุ่มนั้นว่าสมาชิก(Element หรือ Member) เมื่อกล่าวถึงกลุ่มของสิ่งของกลุ่มหนึ่ง ต้องทราบแน่นอนว่า มีสิ่งของหรือวัตถุสิ่งใดอยู่ในกลุ่มนั้นบ้าง และต้องทราบแน่นอนอีกว่า สิ่งของสิ่งใดไม่อยู่ในกลุ่มนั้นบ้าง ดังนั้นเมื่อกล่าวถึงเซต ๆ หนึ่ง ก็ต้องทราบว่าสิ่งใดเป็นสมาชิกของเซตนั้น และสิ่งใดไม่เป็นสมาชิกของเซตนั้น

แคนเตอร์ นักคณิตศาสตร์ที่ได้กล่าวถึงแล้วในบทที่ 1 ผู้เป็นต้นกำเนิดของวิชาทฤษฎีเซตได้เคยให้คำอธิบายความหมายของเซตไว้อย่างง่าย ๆ เพื่อความเข้าใจเบื้องต้นเป็นแนวทางเดียวกันว่า “เซตหมายถึงกลุ่มของสิ่งของ ซึ่งมีคุณสมบัติบางประการคล้ายคลึงกัน และเรียกสิ่งของในกลุ่มนั้นว่า สมาชิกของเซต”

จากที่กล่าวมานี้ นักคณิตศาสตร์เช่นแคนเตอร์ไม่ได้ถือว่า คำอธิบายเกี่ยวกับเซตที่กล่าวมาแล้วนี้เป็นการให้คำจำกัดความ หรือเป็นพจน์นิยามของคำว่า เซต เพราะว่าไม่ได้อธิบายไว้โดยแจ่มชัด คำที่ใช้ประกอบคำอธิบายก็มีคำว่า กลุ่ม สิ่งของ และสมาชิก ซึ่งนี้เป็นคำที่เรารู้ความหมายดีแล้ว ถ้าพยายามอธิบายคำเหล่านี้อีก เราก็ต้องหาคำอื่น ๆ มาใช้ในการอธิบายจึงเกิดเป็นปัญหาการใช้คำอธิบายที่ต้องวกกลับมาใช้คำแรกอีก จึงตกลงกันว่า จะใช้คำว่า เซตเป็นพจน์อนิยาม นั่นคือไม่ต้องให้คำจำกัดความของคำนี้ ในภาษาไทยมีหลายคำที่มีความหมายอย่างเดียวกับคำว่า เซต ได้แก่ กลุ่ม ฝูง หมู่ โขลง ชุด คณะ กอง กรม สำหรับ ครอบครัว ตระกูล ห้อง พะวง เหล่านี้เป็นต้น

ในภาษาอังกฤษมีคำหลาย ๆ คำ ที่ใช้ในความหมายอย่างเดียวกับคำว่า set ได้แก่ group , collection , family , totality , aggregate เป็นต้น แต่ก็มีบางโอกาสที่นักคณิตศาสตร์ได้นำคำเหล่านี้บางคำ ไปใช้ในความหมายที่แตกต่างกันบ้าง เพื่อความสะดวกบางประการของเนื้อหา ที่ใช้นั้น เราทราบถึงความแตกต่างนี้ได้โดยจะบอกกล่าวให้ทราบไว้ก่อน ในขณะนี้